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從公車上一躍而下,我來到隔壁鎮的高中參加之前報考的模擬考。信在我之後也跳下公車。「好阿,我們進去吧。」8964 copyright protection104PENANAUQzc4A7EGL 維尼
「嗯。」8964 copyright protection104PENANAQrondg2q4D 維尼
來到大門口的佈告欄前。我跟謙都是第一考場。8964 copyright protection104PENANA9UQ1kRosrN 維尼
「第一,感覺是好兆頭。」信開心的說。8964 copyright protection104PENANAhEseamhAhX 維尼
「你開心就好。地圖上說第一考場在右邊的樓梯爬到四樓。」8964 copyright protection104PENANAUihwGCLgAO 維尼
「四樓......」8964 copyright protection104PENANA2w4eIZQYEJ 維尼
「才四層樓阿,走吧。」8964 copyright protection104PENANAdzWJuP9ZK9 維尼
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我的座位在最內側最後一排,信的座位在我右前方兩個。我用最小的音量坐下,在我跟信都坐定後,考場就恢復一個令人窒息的寧靜。壓抑感好重!8964 copyright protection104PENANA0AnvqL4N57 維尼
沒事,只要開始答題,腦子就會自動恢復正常了。8964 copyright protection104PENANAVd39HOhA34 維尼
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早上九點二十分清場,我們全部人都走出教室。大家的緊繃感稍稍釋放了一下,但十分鐘後就開始答題,緊張感還是不可能完全放鬆。我玩弄著手上的鉛筆盒,希望自己能稍稍冷靜下來。8964 copyright protection104PENANAcGdxQFUhQ7 維尼
「各位同學可以回到座位上,等待鈴聲響起開始作答。」8964 copyright protection104PENANATtVCWcR4W7 維尼
我回到座位上看向試題本封面,第一顆是數學。答題本有點厚,我有點小擔心。8964 copyright protection104PENANAzbfNk4fRRp 維尼
九點半。鐘生響起。「請各位考生開始作答。」8964 copyright protection104PENANADR3u5PtKWd 維尼
我翻開題本。8964 copyright protection104PENANAzCpT3U2XSV 維尼
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第一題8964 copyright protection104PENANAraCtGe9giZ 維尼
群是由元素(集合)和二元運算構成,且符合群的四項公理的數學結構。群的公理如下:(設本群G的二元運算為#)8964 copyright protection104PENANAI0MBTgURfp 維尼
G1(封閉性):對於所有G中的任意元素x, y,運算x#y的結果也在G中。8964 copyright protection104PENANALv2Gvvaqme 維尼
G2(結合律):對於所有G中的x, y和z,等式 (x#y)#z = x#(y#z)成立。8964 copyright protection104PENANAmAH99CIPni 維尼
G3(單位元素):G中存在一個元素e,使得所有G中的任意元素x,總有等式8964 copyright protection104PENANAuzuO6jUfFT 維尼
e#x= x#e = e 成立。8964 copyright protection104PENANAasMKPNYolM 維尼
G4(反元素):對於所有G中的任意x,總是存在G中的一個元素y使得x#y=y#x = e,此處e為單位元素。8964 copyright protection104PENANAfGR5pI43fI 維尼
請用以上群的公理證明「不存在有兩個單位元素的群」。8964 copyright protection104PENANAu3saUKsOUz 維尼
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好,我在其他書(註1)上看過證法。這題我有信心。8964 copyright protection104PENANAVEtP9LpqKm 維尼
我提起筆,在答題本第一題的空格開始寫。8964 copyright protection104PENANA0wPJJBKQq6 維尼
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根據G3,假設我們從群G挑出兩個有單位元素性質的元素為 e , f8964 copyright protection104PENANAQkAUi4wbiu 維尼
再挑一個元素g , e#g=g , f#g=g , e#g = f#g ( G3 ) (註2)8964 copyright protection104PENANAC3edSnwB38 維尼
根據G4,可以再挑一g的反元素h , e#g#h = f#g#h 且g#h = e v f (註2)8964 copyright protection104PENANAa9kV8dvLv8 維尼
根據G2,e#(g#h) = f#(g#h) , e#e = f#f8964 copyright protection104PENANAB1Zwt47Syf 維尼
根據G3,e#e=e , f#f=f , e=f8964 copyright protection104PENANAO5TJdznhOf 維尼
至此,我們 (註3) 證明,從任意符合公理的群找出的兩個單位元素,其實是相等的同一元素。證明結束。8964 copyright protection104PENANAyWNsczJtBf 維尼
OK,下一題......8964 copyright protection104PENANAm5MjqcqkgO 維尼
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註1:如果喜歡數學,<數學女孩> 真的很好看。如果不喜歡就算了,幾乎整本都是數學。8964 copyright protection104PENANA8UlFczz5XZ 維尼
註2:這裡可能有人會想把g直接刪掉。但不是所有群都能等式兩邊同時刪掉一個數。下面是我建構符合群的公理的群的運算表。(有四個元素。)8964 copyright protection104PENANA1UBAnbyf5B 維尼
# | A | B | C | O |8964 copyright protection104PENANAzqX0ieOr5n 維尼
------|------------------------------------------------------------------------------------8964 copyright protection104PENANAAuKDkmoLE2 維尼
A | A | O | C | A | 8964 copyright protection104PENANAqKVYU5GaNQ 維尼
B | O | B | C | B | 8964 copyright protection104PENANA1o13mjCwhR 維尼
C | C | C | O | C |8964 copyright protection104PENANAOVAnJ0kM6q 維尼
O | A | B | C | O |8964 copyright protection104PENANAiYIOSKuTpq 維尼
這裡所有運算都只會得到A、B、C、O ( G1 ) 8964 copyright protection104PENANAx1z2Y74mgz 維尼
(A#B)#O = A#(B#O)= O , (A#C)#B = A#(C#B) = C (G2)8964 copyright protection104PENANA0m3GBW1Lxu 維尼
O 是單位元素 (G3)8964 copyright protection104PENANACwA5ZIf1BZ 維尼
A的反元素是B,B的反元素是A,C的反元素是C, O的反元素是O (G4)8964 copyright protection104PENANAbAnbvDznd9 維尼
但 A#B#C = A#O#C , 把C刪掉,A#B ≠ A#O8964 copyright protection104PENANAOXnncwv70r 維尼
有人可能好奇那為何可以同時乘以h,這其實是和也沒有寫到那麼詳細。8964 copyright protection104PENANApKj5h7nCDC 維尼
說明:根據G1,e#g 和 f#g 的值一定在G內,假設是元素i,則因 e#g = f#g = i , i#h 當然等於 i#h 。 8964 copyright protection104PENANAj1sswwgjHd 維尼
還有那個 v 是「或」的意義 ,數學符號,大部分人應該學過。108Please respect copyright.PENANAS2XdufXHry
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希望我解釋的夠清楚。 8964 copyright protection104PENANArF1YliwDnb 維尼
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